İLGİMİ ÇEKEN ŞEYLER: Temmuz 2012

8 Temmuz 2012 Pazar

‘Higgs Bozonu’na iki Türk'ten katkı

Doktorası ODTÜ’den

The Times of Oman’ın haberine göre, Umman’daki Sultan Kabus Üniversitesi’nde görevli Türk profesörler Mehmet ve eşi Nazife Koca, CERN’deki CMS deneylerine “kaydadeğer bir katkıda” bulundular.Haberde, 1980’lerden beri yüksek enerji fiziği konusunda çalışan uzman çiftin son birkaç yıl içindeki araştırmalarıyla bu katkıyı sağladığı belirtildi. İki Türk profesöre, bazı öğrencilerin de yardım ettiği ifade edildi. Sultan Kabus Üniversitesi’nin internet sitesindeki özgeçmişine göre, doktorasını ODTÜ’de 1971 yılında tamamlayan Mehmet Koca, 1977’ye kadar Çukurova Üniversitesi’nde görev yaptıktan sonra ABD, Almanya ve Japonya üniversitelerinde dersler verdi. Doktorasını 1992’de Çukurova Üniversitesi’nde tamamlayan Nazife Koca ise, 1998’den beri Umman’da öğretim üyesi.

Not: Hürriyet'ten alıntıdır.

Ekbilgi

Sayın İlgimi Çeken Şeyler okuyucuları,

Yayınladığım sözler Vikisöz'den alıntıdır.

Saygılarımla Admin.

Admin SEÇİMİ

Aynı anda hem savaşa hazırlanıp, hem de savaşı önleyemezsiniz.
Albert Einstein

GÜNÜN SÖZÜ

"Tanımak, anlamak, harekete geçmek gerekir. Dünya hayal kurmak için değil, başka bir şekle dönüştürmek içindir."

Spinoza

GÜNÜN BULMACASI

NO: 3189. KUTU SİL

Yukarıdaki kutulardan ikisini silerek eşitliği doğru hale getirin.
Örnek:

60 / 4 + 2 = 32 - 15 » 17 = 17

(Not: İşlemlerde çarpma ve bölme, toplama ve çıkarmaya göre önceliklidir.)

Bilgi

Sayın İlgimi Çeken Şeyler okuyucuları,
Son birkaç gündür meşgul olduğum için bloga yazı yazamadım.
Saygılarımla Admin.

6 Temmuz 2012 Cuma

GÜNÜN BULMACASI

NO: 3188. SAYI-HARF

Sayılar ve baş harfleri verilen sözcükler neyi ifade ediyor?

Örnekler:
"1 H 7 G V" --> (1 Haftada 7 Gün Var),
"K 40 Y" --> (Kılı 40 Yarmak).

5 Temmuz 2012 Perşembe

MİCROSOFT'UN YAY SANAL KLAVYE PLANI

Ceplerimizde kullandığımız sanal klavyeler, özellikle büyük telefonlarda tek elle yazı yazmakta zorluk çıkarabiliyor. İnternete sızan yeni bir görüntü ise Microsoft'un bu sorunu yay şeklindeki bir sanal klavye ile çözmek üzere çalıştığını gösteriyor.

WMPoweruser.com'un sızdırdığı ve Microsoft Research'ün bir sunumundan alındığı iddia edilen görüntüde bir HTC Trophy üzerinde yeni dokunmatik klavye gösteriliyor. Klavye tasarımı, her düğme üzerinde üç veya dört harfi bir araya getiriyor. Bu tür bir klavyede yazı yazarken, telefonun kelime tahmin işlevleri kullanılıyor.

Özelliğin işlevselliği hakkında ise deneme yapmadan konuşmak zor. chip.com.tr'nin haberine göre böyle bir özellik tek elle kullanmayı kolaylaştırıyor olabilir, ancak harferi gruplaması ve tahmine dayalı çalışması, özellikle Türkçe dilinde ne kadar iyi çalışacağını şüpheli hale getiriyor.

Bu resim, belki de Windows Phone 7.8'de Microsoft'un bize şimdilik açıklamak istemediği yeni özelliklerden bir tanesi (WP 7.8'deki tek yeniliğin yeni giriş ekranı olduğu düşünülüyor). Ancak şimdilik kesin bir bilgi yok, zira özelliğin Microsoft tarafından mı geliştirildiği, yoksa şirketin donanım ortakları tarafından mı yürütüldüğü dahi bilinmiyor.
Microsoft'un "yay" sanal klavye planı

Kaynak: Hürriyet gazetesi

GÜNÜN SÖZÜ VE ADMİN SEÇİMİ

Sessizliğe inanlardan yanayım, bu konuda saatlerce konuşabilirim. George Bernard Shaw
Bilim her günkü düşüncelerimizin saflaşmasından başka bir şey değildir. Albert Einstein

Anahtar kelimeler

ali berke korkmaz - blogspot - fizik - matematik - karmaşık sayılar - youtube'dan gelişme - felçli hastalara bilgisayar oyunu - meteor avcısı - 6 metre 17 santimle rekor kırdı - dünyanın en iyi senfonik orkestra grunu - ctrl + alt + del - dna'da bilgi depolanması - yaprak damarlarının mimarisi - ışınla çekmek gerçek mi oluyor - fauna: kırmızılı kurbağa bombina - denizaltı mağaraları - gergedanlar - zamanı geri alabiliyor - chrome'u fena övdü - yeni android uygulama sea stars - galaxy s3, galaxy s2 ye karşı - xbox 720 işte böyle olacak - en iyi 3 teknoloji devinin çalışma masası - karşınızda nintendo wii u - emrehan halıcı - mantık soruları - osmanlıca bilgisayar terimleri - albert einstein - microsoft - pc - güvenlik duvarı - antivirüs - hassas - dosya - şifre - spyware - spam - ince - ayar - noscript - hijack this - duvar - datastar - risun - türkiye - google - photoshop - dünya - köpek - wiki - tanrı parçacığı - doğal sayılar - tam sayılar - çift ve tek sayılar - rasyonel sayılar - irrasyonel sayılar - cebirsel sayılar - reel sayılar - aşkın sayılar - dördeyler - sekizey - hiperbolik sayılar - günün sözü - internet - çifte karmaşık sayılar

ÇİFTE KARMAŞIK SAYILAR: KARŞIK KATSALI HİPERBOLİK SAYI TANIMI

Karmaşık katsayılı hiperbolik sayı tanımı [değiştir]

Eğer hiperbolik bir sayının tanımını

$\mathbb{H}=\{a+\mathbf{h} b \, | \, a,b \in \mathbb{C} \text{ ve } \mathbf{h}^2=1 \}$

gibi karmaşık katsayılı olarak alırsak her çifte karmaşık sayı

$z = (a+\mathbf{i} b) + (c + \mathbf{i}d ) \mathbf{h} = a + \mathbf{i} b + \mathbf{h} c + \mathbf{h}\mathbf{i} d$

şeklinde ifade edilecektir. Burada

$\mathbf{k}=\mathbf{h} \mathbf{i}=\mathbf{i} \mathbf{h}$ ve bu takdirde $\mathbf{k}^2=-1$

olarak tanımlamakla her çifte karmaşık sayıyı

$z=a+\mathbf{i} b+ \mathbf{h}c + \mathbf{k} d$

şeklinde ifade etmiş ve istediğimiz özellikleri sağlamış oluruz.

Kaynaklar: wikipedia

ÇİFTE KARMAŞIK SAYILAR: iKİ KARMAŞIK SAYI TANIMI

$z=a+\mathbf{e}_1 b+ \mathbf{e}_2 c + \mathbf{e}_3 d$ şeklinde ifade edilen sayılara çifte karmaşık sayılar denir. Çifte karmaşık sayılar 2 karmaşık veya 2 karmaşık ve 1 hiperbolik sayıdan oluşabilir. Dörtlük sayılarla karıştırılmamalıdır.
Çünkü
$\mathbf{e}_1^2=\mathbf{e}_2^2=-1$
iken
$\mathbf{e}_3^2=1$ dir. Bu da hatırladığınız gibi H'a karşılık gelir.

İki karmaşık sayı tanımı

$\mathbb{C}_1=\{ a+\mathbf{i}_1 b \, | \, a,b \in \mathbb{R} \text{ ve } \mathbf{i}_1^2=-1 \}$ Ve $\mathbb{C}_2=\{ a+\mathbf{i}_2 b \, | \, a,b \in \mathbb{C}_1 \text{ ve } \mathbf{i}_2^2=-1 \}$

O zaman $\mathbb{C}_2$ kümesindeki her öğe $z=a+\mathbf{i}_1 b+ \mathbf{i}_2 c + \mathbf{i}_1 \mathbf{i}_2 d$ şeklinde yazılabilir. Burada yine

$\mathbf{h}=\mathbf{i}_1 \mathbf{i}_2=\mathbf{i}_2 \mathbf{i}_1$ ' dir çünkü, $\mathbf{h}^2=(\mathbf{i}_1 \mathbf{i}_2 )^2 = \mathbf{i}_1^2 \mathbf{i}_2^2 = (-1)(-1)=1$ Buradan da her çifte karmaşık sayı $z=a+\mathbf{i}_1 b+ \mathbf{i}_2 c + \mathbf{h} d$ olarak yazılabilir.

Kaynaklar: Wikipedia

İŞTE BUGÜNKÜ ZEKA SORUMUZ

NO: 3187. PUAN TABLOSU

Üç takım arasında bir futbol turnuvası düzenleniyor. Her takımın diğer takımlarla birer kez karşılaştığı turnuvanın sonunda bir puan cetveli oluşturuluyor. Ancak bu cetvelin bazı yerleri siliniyor. Puan cetvelini inceleyerek oynanan tüm maçların kaç kaç bittiğini bulunuz.

4 GÜN SONRA İNTERNET KOPABİLİR

Artık sıcak savaş yerine soğuk ve siber savaş var. Al işte 9 Temmuz'da FBI internetin fişini çekiyor. Hürriyet'in verdiği bilgiye göre hackerlar DNSchanger adlı virüs ile bilgisayarlara saldırmayı yani kendi sahte sitelerine çekmeyi planlıyor. Peki bunun sebebi ne? Hürriyet 'Windows'dan açık bulup sızdılar.' diyor. Kısacası 9 Temmuz'da internetiniz gidebilir. Demedi demeyin.

4 Temmuz 2012 Çarşamba

GÜNÜN SÖZÜ VE aDMİN SEÇİMİ

Eğer gerçeği gerçekten bilmek istiyorsan, yaşamında bir kez olsun bütün şeyler hakkında şüphe et.
Rene Descartes
Yalanın faydası bir defa içindir, gerçeğin faydası ise sonsuz ve ölümsüzdür.
Denis Diderot
Frans Hals - Portret van René Descartes.jpg

Frans Hals - Portret van René Descartes.jpg

Duyuru

Sayın İlgimi Çeken Şeyler okuyucuları,
Vikisözden alıntı yaptığım 2 söz bundan sonra hergün yayınlanacaktır.
Saygılarımla.
Admin

HİPERBOLİK SAYILAR

h.h=1 h eşit değildir 1 ve -1. buradaki h değerleri hiperbolik fonksiyonların kümesine eşittir. Bu sayılar fizikte özellikle özel görelilikte kullanılmıştır. Genel mantığı şöyledir: i.i=-1 olabiliyorsa(karmaşık sayılar) i.i=1 neden olması?

Resmi Açıklaması

$\mathbb{R}[X]$ polinom halkasında, X^2 -1

polinomunun kökleri 1 ve -1 iken bundan başka bir h sayısının kök olabileceğine dayanır. Kümesi $\mathbb{R}[X] / (X^2-1)$ bölüm halkasıdır. Genelde $\mathbb{H}$ veya H ile gösterilir.

SEKİZEYLER DETAYLI

Resimde görüldüğü şekle fano düzlem denir.
Tam olarak istediğim adlandırmayı yapamadıkları için 100 yerine p, 110 yerine k, 010 yerine s, 011 yerine j, 001 yerine q, 101 yerine i gelirse daha iyi olur. Sıra sekizeylerdeki çarpma işleminin nasıl olduğunu açıklamaya geldi. K, j ve i noktaları dördeylerin geometrisini simgeler ve onlarla aynı biçimde okların( bunlar hayali oklardır. bir üçgen çiziniz ve sanki bir noktadan başlayarak üçgende tur atın. Daha sonra onun içine çember yerleştirip ona da aynı yönden tur attırın. Daha sonra üst dikmeden alt tabana dikme indiririz. Sonra da atıyorum çeberde sağdan sola çizdik. k ve q, s ve i yi birleştiririz. İşte oklar böyle.) gösterdiği yönler dikkate alınarak çarpılır. Örnek olarak k.p yapıyoruz, k ile p doğrusu üzerindeki diğer nokta bu sonuç oluyor. s. Dördeylerde çarpım sırası önemlidir. Ancak sekizeyler daha devrrimcidir. Eğer 3 sekizeyi çarpıyorsak ilk olarak hangi 2 sekizeyi çarptığımız önemlidir.

SEKİZEYLER

Daha önce anlattığım gibi dördeyler 4 boyutluyken sekizeyler 8 boyutludur. w=a+bi+cj+dk+ep+fq+gr+hs diye gösterilir. hayali sayıların yedisinin de karesi -1 e eşittir. Sekizeylerin hayali sayıları Fano Dülem denilen, yedi doğru(merkezdeki daire doğru olarak alınır) ve yedi noktadan oluşan sonlu bir geometrinin kurallarına göre çarpılır.

DÖRDEYLER

Tanım [değiştir]
Dördeyler bir halka olarak tanımlanır. Kümesi:

$\mathbb{H}=\{a+bi+cj+dk | a,b,c,d\in\mathbb{R}\}$ .

olarak verilir. Burada kullanılan toplama şu şekilde tanımlıdır:

$(a_1+b_1i+c_1j+d_1k)+(a_2+b_2i+c_2j+d_2k)\,$

$=(a_1+a_2)+(b_1+b_2)i+(c_1+c_2)j+(d_1+d_2)k\,$

Çarpma ise

$(a_1+b_1i+c_1j+d_1k)(a_2+b_2i+c_2j+d_2k)\,$

ifadesinin dağıtma kuralı kullanılarak açılmasıyla ve aşağıdaki bağıntılar yardımıyla tanımlanır.

$i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1,\,$

Her dördey tektir ve temel dördeylerin, yani 1, i, j ve k nin gerçel doğrusal birleşimidir.
Dördeyler halkası, çarpma işleminin değişmeli olmaması yüzünden bir cisim değildir. Bir bölüm halkasıdır.
Aynı zamanda, dördeyler, gerçel sayılar üzerinde bir bölüm cebiri oluşturur. Gerçel sayılar ve karmaşık sayılarla birlikte, gerçelleri içeren birleşmeli üç bölüm cebirinden biridir.

DÖRDEYLERE GİRİŞ

Matematikte, dördeyler (ya da kvaterniyon, kuaternion, dördübir), karmaşık sayılar cisminin değişmesiz genişletmesidir. İlk defa İrlanda'lı matematikçi Sir William Rowan Hamilton tarafından 1843 yılında tanımlanmış, ve 3 boyutlu uzaydaki matematiğe uygulanmışlardır. İlk başta, kuaterniyonlar değişme kuralına (ab = ba) uymadıkları için sorunlu kabul edilmişlerdir. Her ne kadar pek çok uygulamada vektörler ve matrisler yerlerini almış olsa da, hala kuramsal ve uygulamalı matematikte kullanılmaktadırlar. Başlıca kullanım alanları, 3 boyutlu uzayda dönme hareketinin hesaplanmasıdır.
Dördey cebiri genellikle H (Hamilton) ile gösterilir. Clifford cebiri sınıflandırması Cℓ_0,2(R) = Cℓ⁰_3,0(R) olarak da gösterilirler. H cebirinin analizde önemli bir yeri vardır. Çünkü, Frobenius teoremi'ne göre, gerçel sayılar cismini althalka olarak içeren sonlu-boyutlu dört bölüm cebirinden bir tanesidir (diğerleri gerçel sayılar, karmaşık sayılar ve sekizeyler (octonions)).

AŞKIN SAYILAR

Matematikte cebirsel olmayan herhangi bir (muhtemelen) kompleks sayıya aşkın sayı denir. Diğer bir deyişle, katsayıları tamsayı (ya da rasyonel) olan bir polinomun kökü olamayan reel sayılara aşkın sayı denir. Buradan, tüm aşkın sayıların irrasyonel olduğu sonucuna varılabilir. Ancak tüm irrasyonel sayılar aşkın sayı değildir, örneğin $\sqrt 2$ irrasyoneldir, ancak $x^2 - 2 = 0 \!$ polinomunun bir köküdür.
Aşağıdaki sayılar, aşkın olarak bilinir:

π (pi)
e

KARMAŞIK SAYILAR

Tanım [değiştir]
Karmaşık sayılar kümesi birçok şekilde tanımlanabilir. Aşağıdaki tanımların hepsi birbirine eşyapısaldır, yani yapısal olarak biri diğerinin yerine kullanılabilir. Bu yüzden aslında içerik olarak farklı olan aşağıda tanımlanan tüm kümeleri aynı harfle gösterdik, $\mathbb{C}$ . Ayrıca bu simge, sadece karmaşık sayılar dediğimiz öğeleri içeren bir küme olmaktan ötedir, üzerine tanımlayacağımız iki tane ikili işlemi olan bir cisimdir. Üstelik bu cisim, gerçel sayıların en büyük cisim genişlemesidir, yani gerçel sayıları bundan daha fazla genişletemeyiz. Gerçel sayılarla karmaşık sayıların aynı kardinaliteye (öğe sayısına) sahip olduğunu da unutmayalım.

Kartezyen uzay tanımı [değiştir]

Gerçel sayılar kümesinde her sayıyı $\mathbf{i}$ ile çarparsak elde ettiğimiz $\mathbf{i} \mathbb{R}$ kümesi önceki $\mathbb{R}$ kümesine eşyapısaldır. Karmaşık sayılar cismi ise buradan hareketle

$\mathbb{C} \equiv \mathbb{R} \times \mathbf{i} \mathbb{R} \equiv \{ \, ( a,b ) \, | \, a \in \mathbb{R} \, \text{ve} \, b \in \mathbf{i} \mathbb{R} \}$

olarak tanımlanmış olur. Bu 2 boyutlu kartezyen uzay, Argand düzlemi olarak anılır. Eğer $\mathbb{R}$ yerine tamsayılar cismi $\mathbb{Z}$ alınırsa oluşan karmaşık tamsayılar Gauss düzlemindedir. Bu sayılara da Gauss sayıları denir.
Karmaşık sayılar, bu tanımla aşağıdaki gibi ifade edilir: $z\in\mathbb{C}$ olmak üzere;

$z = (a,b)$

Burada açıkça $Re(z)=a$ ve $Im(z)=b$ dir.

Cisim genişlemesi tanımı [değiştir]

Karmaşık olmayan sayılar, gerçel sayılar cisminin bir cisim genişlemesidir. $\mathbf{i}$ sayısı $x^2+1$ polinomunun köklerinden biridir ve diğer kökü de $-\mathbf{i}$ olur. Bu iki öğenin gerçel sayılarla olan genişlemesinin eşcyapısal olduğu kolaylıkla görülebilir:

$\mathbb{R}\left(\mathbf{i}\right) \equiv \mathbb{R}\left( -\mathbf{i} \right)$

Bu durumda

$\mathbb{C} \equiv \mathbb{R}\left( \mathbf{i} \right)$

olarak tanımlanır. Daha açık olarak, karmaşık sayılar gerçel sayılar polinom halkasının $x^2+1$ polinomuyla üretilen bölüm halkasıdır:

$\mathbb{C} \equiv \mathbb{R} [ X ] / (X^2+1) \equiv \{ \, a + \mathbf{i} b \, | \, a,b \in \mathbb{R} \, \}$

Bu bölüm halkasında X öğesinin görüntüsü $\mathbf{i}$ karmaşık birimidir. Bu sayede karmaşık sayılar halkası cebirsel olarak kapalı olur ki bu, gerçel sayıların cebirsel kapanışıdır. Cebirin temel teoremi bunu gerektirir, n dereceli her polinomun tam n kökü vardır. Biz, her karmaşık sayının $a + \mathbf{i} b$ olarak ifade edildiği bu tanıma daha âşinâyız.

Karmaşık düzlem [değiştir]

Şekil 1: Karmaşık bir düzlemde nokta (kırmızı) ve konum vektörü (mavi) ile çizilen karmaşık sayı; $a+ib$ (veya $a+bi$ olarak ta gösterilir) dikdörtgendir ve noktayı ifade eder.

Karmaşık sayı, iki boyutlu kartezyen koordinat sisteminde, nokta veya konum vektörü olarak gösterilebilir. Sayılar alışıla geldiği gibi yatay bileşen gerçel kısmı ve düşey (dikey) bileşende sanal kısmı olarak çizildi (Şekil 1'e bakınız). Bu iki kısım karmaşık bir sayıyı ifade etmek için kullanılır ve bu yüzden Kartezyen-, dikdörtgensel- veya cebirsel form olarak adlandırılır.

İşlemlerin geometriksel açıklaması [değiştir]

Cebirsel olarak ifade edilen işlemler yukarıdaki karmaşık düzlem kullanılarak gösterilebilir.

	X = A + B: Karmaşık düzlemdeki A ve B gibi iki noktanın 'toplamı, X = A + Bdir ve köşeleri 0,A, B olan bir üçgendir. X, B, A ile benzerdir. Bu iki karmaşık sayı, vektör uzayında aynı katkıya sahiptir.
	X = AB: A ve B gibi iki noktanın çarpımı X = ABdir ve köşeleri 0, 1, A olan bir üçgendir. 0, B, X benzer üçgenlerdir.
	X = A: A noktasının Karmaşık eşleniği, X = Adır ve köşeleri 0, 1, Adır. 0, 1, Xnin ayna görüntüsüdür.

Bu geometrik açıklamalar, cebirsek problemlerin geometriksel biçime dönüştürmeyi sağlar. Ve tam tersi de geçerlidir (geometriksel problemler, cebirsel olarak çözülebilir). Örneğin, geometriksel şekil olan onyedigen problemi, Gauss tarafından şu şekilde cebirsel denklem analizine dönüştürüldü:x¹⁷ = 1 (Çokgene bakınız).

$f(x) = \tfrac{(x^2 - 1)(x - 2 - i)^2}{x^2 + 2 + 2 i}$
fonksiyonunun alan renklendirme çizimi. Ton, fonksiyon değişkenini ifade ederken, doygunluk ve canlılık miktarı ifade eder.

Kutupsal form [değiştir]

Şablon:Detail

Şekil 2: φ değişkeni ve r mutlak değeri, karmaşık düzlemdeki bir noktanın konumudur. Noktanın kutupsal ifadesi şöyledir: $r(\cos \phi + i \sin \phi)$ veya $r e^{i\phi}$ .

Diyagramlar çeşitli özellik gösteriler. Öncelikle Şekil 2'de r ile gösterilen orjin (merkez)den z noktasına olan uzaklık, mutlak değer olarak bilinir. Mutlak değer veya büyüklük $|z|$ olarak yazılır. Pisagor teoremine göre,

$|x+iy|=\sqrt{x^2+y^2}.$

Karmaşık sayılar arasındaki uzaklık genellikle, $d(z,w)=|z-w|$ fonksiyonu ile gösterilir. Bu fonksiyon, karmaşık sayıların metrik uzayına dönüşüdür. Limit ve süreklilik hakkında fikir verir. İki boyutlu uzayın tüm standart özellikleri karmaşık sayılar için geçerlidir. (tüm z ve w için, $| z + w | \leq | z | + | w |$ ).
İkinci olarak, $z=x+iy$ şeklindeki karmaşık sayının argümanı veya fazı, reel eksenle yaptığı açıdır (Şekil 2'de φ olarak gösteriliyor) ve $\arg(z)$ olarak yazılır. Mutlak değer olarak, argüman dikdörtgensel formdan elde edilebilir $x+iy$ :

$\varphi = \arctan\frac{y}{x}$ veya $\varphi = \pi + \arctan\frac{y}{x}$ ( $x<0$ olduğunda π ekleyerek, $x+iy=r(\cos \phi + i \sin \phi)$ olur).

φ değeri, 2π'nin herhangi çarpanı olarak değiştirilebilir ve yine aynı açıyı verir (burada radyan kullanıldığına dikkat ediniz). Bundan dolayı, arg fonksiyonu bazen çok değerli olarak ifade edilir, Fakat çoğunlukla değer $(-\pi,\pi]$ veya $[0,2\pi)$ aralığında seçilir (Bu asıl değerdir).
Karmaşık sayıların çeşitli formlarda gösterilebilir. Kutupsal form, bir düzlemdeki noktanın tam konumunu belirten mutlak değer ve argüman bileşenleri olarak gösterilebilir, şöyle ki; (r,φ) kutupsal çiftlerinden, özgün dikdörtgenin koordinatları olan $(x,y)=(r \cos\varphi,r\sin\varphi)$ elde edildi). Diğer gösterimi:

$z = r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\,$

buna trigonometrik form denir ve bazen r cis φ olarak kısaltılır. Euler formülü kullanılarak şu şekilde gösterilebilir:

$z = r e^{i \varphi},$

buna da üstel form denir. Elektrik Mühendisliği'nde daha çok açısal gösterim kullanımı yaygındır. Bu gösterim, A genlikli ve θ fazına sahip fazörü ifade eder ve şu şekilde yazılır:

$A \ang \theta = A e ^ {j \theta }.$

Açısal gösterimde θ, hem radyan hem de derece olabilir. Elektrik akımını ifade eden i ile karıştırmamak için, Elektrik Mühendisliği'nde i yerine daha çok j kullanılır.

Kutupsal formdaki işlemler [değiştir]

Çarpma ve bölme kutupsal formda temel formüllere sahiptir:

$(r_1e^{i\varphi_1}) \cdot (r_2e^{i\varphi_2}) = r_1 r_2 e^{i(\varphi_1 + \varphi_2)}$

$\frac{r_1\,e^{i\varphi_1}}{r_2\,e^{i\varphi_2}} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)\,e^{i (\varphi_1 - \varphi_2)}.$

Bu formda her iki çarpanın (eşitliklerin solundakiler) katsayıları çarpımın özelliğinden dolayı yan yana (çarpma işleminde) veya alt alta (bölme işleminde) getirilebilirler. Diğer yandan üslü sayıların kuralları gereği ifadeler aynı ise (burada $e$ ), bunlar aynı ifade altına alınırken çarpma işleminde üsler toplanır, bölme işleminde ise üsler çıkartılır.
Üs tam sayı ise şöyle gösterilir:

$(r(\cos\varphi + i\sin\varphi))^n = r^n\,(\cos n\varphi + i \sin n \varphi).$

[De Moivre formülü]

Sonuç olarak kutupsal formlar kökleri bulmak içinde kullanılabilir. z herhangi karmaşık sayı olmak üzere ve n pozitif tam sayı için zⁿ = c olarak gösterilebilir. Bu da cnin n. kökü diye okunur. Eğer c sıfır değilse, tam n tane farklı c nin kökü vardır (cebirin temel teoremine göre). r > 0 için, c = re^iφ'de c nin n. kökleri:

$\left\{ \sqrt[n]r\,e^{i\left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right)} \mid k\in\{0,1,\ldots,n-1\} \, \right\}$

Burada $\sqrt[n]{r}$ , pozitif reel sayı olan r nin genellikle pozitif olan n. kökünü ifade eder. Eğer c = 0, ise c nin tek bir kökü vardır, o da 0'dır.

Karmaşık sayılarda işlem [değiştir]

Karmaşık sayılarda cebirsel işlemler gerçel sayıların genişlemesidir. Öncelikle iki karmaşık sayının eşitliğini verelim.

Eşitlik [değiştir]

Bir $z = a + \mathbf{i} b$ ve $w = c + \mathbf{i} d$ karmaşık sayıları için

$z=w$ ancak $a=c$ ve $b=d$ iken geçerlidir.bu doğru bir kavramdır...

Toplama [değiştir]

Bir $z = a + \mathbf{i} b$ ve $w = c + \mathbf{i} d$ karmaşık sayıları için

$z + w = ( a + \mathbf{i} b ) + ( c + \mathbf{i} d ) = ( a + c ) + \mathbf{i} ( b + d ) \,$

Çarpma [değiştir]

Bir $z = a + \mathbf{i} b$ ve $w = c + \mathbf{i} d$ karmaşık sayıları için

$zw = ( a + \mathbf{i} b ) ( c + \mathbf{i} d ) = ac - bd + \mathbf{i} ( bc + ad ) \,$

Eşlenik [değiştir]

Bir karmaşık sayı ile eşleniğinin karmaşık uzaydaki gösterimi.

Bir $z = a + \mathbf{i} b$ karmaşık sayısı için eşlenik ifadesi $\mathbf{i} \mapsto -\mathbf{i}$ dönüşümüdür ve

$\bar{z} = a - \mathbf{i} b$

ya da matrislerde

$\bar{ \mathbf{z} } = \mathbf{z}^T = \begin{bmatrix} a & b \\ -b & \;\; a \end{bmatrix}$

olarak tanımlanır.

Eşleniğin cebirsel özellikleri [değiştir]

$\overline {(z+w)} = \overline w + \overline z$
$\overline{ \overline z } = z$
$\overline {(zw)} = \overline w \cdot \overline z$
$\overline {(z / w)} = \overline z / \overline w$
$\overline z = z$ ancak z gerçel sayı olduğunda geçerlidir.

Çarpımsal Ters [değiştir]

Bir $z = a + \mathbf{i} b$ karmaşık sayısının tersi ancak

$z^{-1} = \frac{\bar{z}}{z \bar{z}} = \frac{\bar{z}}{|z|^2} = {a\over a^2+b^2} - \mathbf{i} {b\over a^2+b^2}$

olarak ya da bir matrisin tersine uygun olarak

$\mathbf{z}^{-1} = { 1 \over det \mathbf{z} } \begin{bmatrix} a & b \\ -b & \;\; a \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} {a\over a^2+b^2} & {b\over a^2+b^2} \\ -{b\over a^2+b^2} & \;\; {a\over a^2+b^2} \end{bmatrix}$

olduğu görülür.o