REEL SAYILAR

İrrasyonel sayıların varlığı [değiştir]
Düzlemde herhangi bir doğru parçası alıp bunada birim (br) uzunluk diyelim. Tamsayılarla bu doğru parçasının katları birebir eşlensin. Alınan bir doğrunun üzerinde bu tamsayı uzunlukları ve olası tüm oranları (oranlı sayılar) işaretlensin. Gösterilebilir ki, herhangi iki oranlı sayı arasında sonsuz çoklukta oranlı sayı vardır. Demek oluyor ki, alınan doğru üzerinde birbirlerine istenildiği kadar yakın ve oranlı sayıları temsil eden iki nokta (oranlı nokta) arasında , sonsuz çoklukta oranlı nokta vardır.
Bu tür noktaların, dolayısıyla uzunlukların varlığını ispatlamak için, kenar uzunluğu 1 birim (br) olan bir karenin köşegen uzunluğunu (x) sayı doğrusu üzerinde işaretleyelim. x uzunluğu, oranlı bir sayı değildir, yani p ve q birer tamsayı olmak üzere p/q şeklinde gösterilemeyen bir sayıdır; bu sayı olarak gösterilecektir.
Kabul edelim ki x=p/q olsun. Bundan başka, bu kesrin artık kısaltılamayan bir kesir olduğunu farz edelim, yani p ve q aralarında asal olsunlar. Başka bir deyişle, bunların 1'den başka ortak bölenleri bulunmasın. Pisagor teoremi sayesinde x²=2=p²/q² elde edilir. Dolayısıyla 2q²=p² olur. p ve q aralarında asal olduğu için 2, p 'yi bölmek zorundadır. Böylece eşitliğin sağ tarafı 4'e bölünür. Sol tarafının da dörde bölünmesi gerekeceğinden q da 2'ye bölünmek zorunda kalır. Hem p hem de q sayıları 2'ye bölünebiliyorsa, aralarında asallık kabulüyle çelişkili bir sonuç bulunmuş olur. O halde x 'in oranlı bir sayı olduğu kabulünden vazgeçmek gerekecektir.
Bu ispat, bir Pisagorcu olan Hippasus'a atfedilmektedir (İ.Ö: 5. yüzyıl). İrrasyonel sayıların varlığının ilk antik Yunan matematikçi Pisagor'un okulu tarafından anlaşılmış olduğu görüşü yaygındır. Fakat Pisagor bu sayıların evrenin düzenine aykırı olduğunu düşünmüş ve öğrencilerine bu sayıların varlığını açıklamayı yasaklamıştır. Rivayete göre Hippasus'u o öldürtmüştür.

Reel sayıların kurulması [değiştir]

Gerçel Sayılar ile oranlı sayılar kümesinin birleşimi Gerçel sayılar kümesini oluşturur. Bu kümeye reel sayılar veya gerçel sayılar da denir. Geometride karşılaşılan bazı büyüklüklerin anlamlandırılabilmesi için Klasik Yunan Dönemi'nde, yaygın inanca göre Pisagor ve öğrencileri tarafından sayı kavramına dâhil edilmişlerdir. Anlatılanlara göre Pisagor doğadaki tüm büyüklüklerin rasyonel sayılarla ifade edilebileceğini söylemekteydi. Fakat bulduğu hipotenüs eşitliğinin bir sonucu olarak x2 = 2 gibi bir değerlerle karşılaştı. Uzun yıllar boyu bu tür sayıların uzun kesirlerle ifade edilebileceğini iddia etti ve göstermeye çalıştıysa da, öğrencilerinden birinin bu gibi sayıların kesinlikle kesirli bir biçimde gösterilemeyeceğini ispat etmesiyle ikna olur ama hayatı boyu bunun bir sır gibi gizlenmesi için çalışır ve doğada gerçel sayıların yeri olmadığını söylemeye devam eder. Gerçel sayılar kümesi harfi ile ifade edilir.

Diğer Bilgiler [değiştir]

• Tam kare olmayan hiçbir doğal sayının karekökü oranlı değildir.
• Oranlı sayılar kümesi sayılabilir olmasına karşılık gerçel sayılar kümesi sayılamazdır.
• Gerçel sayılar "cebirsel sayıların elemanı olanlar" ve "aşkın sayılar" (transcendental) olarak ikiye ayrılırlar. Gerçel sayılar, cebirsel sayıları kapsamaz, fakat aşkın sayıları kapsar. Cebirsel bir gerçel sayı, tamsayı katsayılı bir polinomun kökü olabilen bir sayıdır; örneğin: x² - 2 polinomunu 0 yapan değerlerden biri (kök) 'dir. x - 2 polinomunun kökü 2'dir. Dolayısıyla ve 2 cebirsel sayılardır. Ancak ve e sayıları gibi sayılar herhangi bir polinomun kökü olamazlar; bunlar aşkın sayılardır.